Loi - Math'φsics

Loi

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent
Loi \({\Bbb P}_X\) d'une Variable aléatoire \(X:(\Omega,\mathcal A)\to(E,\mathcal E)\)
Mesure image de \({\Bbb P}\) par \(X\).
Probabilité \({\Bbb P}_X\) sur \((E,\mathcal E)\) définie par : $$\forall B\in\mathcal E,\quad {\Bbb P}_X(B)={\Bbb P}(X^{-1}(B))={\Bbb P}(X\in B).$$
- dans le cas d'une Variable aléatoire discrète, \({\Bbb P}_X=\) \(\sum_{x\in E}p_x\delta_x\) avec \(p_x={\Bbb P}(X=x)\) et \(\delta_x=\Bbb 1_B(x)\)
- si \(X\) n'est pas discrète, alors la loi est donnée par une Densité
Questions de cours

Montrer que si \(X\) est une variable aléatoire discrète, alors $${\Bbb P}_X=\sum_{x\in E}p_x\delta_x$$

Prendre \(B\subset E\) et regarder la probabilité qu'il soit atteint par \(X\).

Disjonction des cas pour chaque élément

Union dénombrable disjointe : on peut passer à la somme.

OK en changeant d'écriture.

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Comment calculer en pratique la loi d'une v.a. \(X\) ?
Verso: On cherche une Mesure de probabilité \(\mu\) sur \(E\) telle que \({\Bbb E}[f(X)]=\int_Ef\,d\mu\) pour "suffisamment" de fonctions \(f\).
Bonus: Si \(E={\Bbb R}^d\), "suffisamment" désigne l'ensemble des fonctions continues/\(\mathcal C^\infty\) à support compact dans \({\Bbb R}^d\).
Si \(E={\Bbb R}\), "suffisamment" désigne l'ensemble des \(\Bbb 1_{[a,b]}\), pour \(a\lt b\).
END

Exercices

Soit \(a,b\in{\Bbb R}^*_+\).
Soit \((X,Y)\) un vecteur de loi de densité $$(x,y)\mapsto abe^{-(ax+by)}\Bbb 1_{{\Bbb R}_+\times{\Bbb R}_+}(x)$$par rapport à la mesure de Lebesgue sur \({\Bbb R}^2\).
Déterminer la loi de \(M=\min(X,Y)\).

Calculer l'espérance de l'image par une fonction mesurable et séparer en deux l'intégrale en fonction des valeurs prises par le \(\min\).

Les deux intégrales peuvent être réduites en calculant l'intégrale interne.

Reconnaître la loi.

Soit \(a,b\in{\Bbb R}^*_+\).
Soit \((X,Y)\) un vecteur de loi de densité $$(x,y)\mapsto abe^{-(ax+by)}\Bbb 1_{{\Bbb R}_+\times{\Bbb R}_+}(x)$$par rapport à la mesure de Lebesgue sur \({\Bbb R}^2\).
Déterminer la loi du couple \((\min(X,Y),\max(X,Y))\).

Séparer l'intégrale en fonction des valeurs prises par le \(\min\) et le \(\max\) via des indicatrices.X

Faire des changements de variable pour que les arguments de \(f\) soient les mêmes des deux côtés.

On reconnaît la densité en regroupant les intégrales.

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Si \(p(x,y)\) est la loi de \((X,Y)\), quelle est la loi de \(Y\) ?
Verso: Elle est donnée par \(q\), avec $$q(y)=\int_{{\Bbb R}^m}p(x,y)\,dx$$
Bonus:
Carte inversée ?:
END

On va passer par la méthode classique, en calculant l'espérance de l'image par une fonction continue.

On peut décomposer en passant par des indicatrices.

On peut ensuite calculer chaque espérance par indépendance/linéarité.

Conclusion sur la loi (en faisant attention à la disjonction des cas).

On va procéder par méthode de la fonction muette.
Soit \(g\) continue bornée. $${\Bbb E}[g(Z)]=$$

Séparer l'espérance via des indicatrices.
$$={\Bbb E}[g(X)\Bbb 1_{X=1}]+{\Bbb E}[g(Y)\Bbb 1_{X=0}]$$

Remplacer les indicatrices par leur probabilité par indépendance.
$$=\theta{\Bbb E}[g(1)]+(1-\theta){\Bbb E}[g(Y)]$$

Conclusion : reconnaître la loi.

On passe par une somme de mesures pour avoir la domination dans les deux cas et l'indépendance avec \(\theta\).

On prend $$\nu:=\delta_1+\lambda.$$
Rétroliens :